Solution élastique de couche chargée en surface avec effets de couple et de contrainte de surface

Jan 31, 2024

Rapports scientifiques volume 13, Numéro d'article : 1033 (2023) Citer cet article

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Dans cette étude, une solution élastique d'une couche mince chargée en surface axisymétrique reposant sur un substrat rigide est établie en tenant compte de la contrainte de surface et des effets microstructuraux du matériau. Les solutions dérivées fournissent non seulement un moyen d'étudier les effets de la taille sur la réponse mécanique, mais également un ensemble de solutions fondamentales essentielles pour résoudre les problèmes de contact à l'échelle micro/nano. Dans la formulation, les théories de contrainte de couple et d'élasticité de surface sont adoptées pour simuler la couche de masse microstructurée et le matériau de surface, respectivement. Une solution générale d'un champ élastique dans la couche de masse est d'abord obtenue par la méthode de transformation de Hankel et ensuite utilisée avec les équations de surface et les conditions aux limites pour former un ensemble de conditions essentielles pour déterminer toutes les constantes inconnues. Après avoir été entièrement testés avec les solutions de référence disponibles, les résultats sont utilisés pour étudier le rôle des contraintes de surface et de couple sur le mécanisme de transfert de charge vers le substrat et sa caractéristique dépendante de la taille pour une large gamme d'échelles de longueur externes par rapport aux échelles de longueur internes.

Des revêtements pour améliorer la surface et les propriétés globales des objets ont été trouvés dans diverses disciplines, y compris la science alimentaire (par exemple, les emballages alimentaires, les ustensiles de cuisine et les plans de travail tuent les bactéries/microbes, etc.), les constructions (par exemple, l'intérieur et l'extérieur de la maison peintures, ameublement d'intérieur, revêtements de verre et de façade pour immeubles de grande hauteur, etc.), costumes (par exemple, vêtements antitaches, combinaison de protection, etc.), véhicules et structures (par exemple, vaisseaux spatiaux, avions, automobiles, ponts, routes marquages, navires de mer, etc.), une grande variété de revêtements de maintenance industriels et non industriels, et de nombreux produits électroniques et biomédicaux. Ces dernières années, les applications de la nanotechnologie pour améliorer les performances des revêtements de surface ont connu une croissance remarquable. Ces développements et utilisations continus de revêtements à l'échelle nanométrique résultent directement de la disponibilité croissante de matériaux nanométriques/nanostructurés et des progrès des procédés de revêtement. Par exemple, les nanoparticules d'argent incorporées dans les textiles peuvent tuer les bactéries responsables des odeurs ; les revêtements en nanofibres sur les textiles peuvent empêcher la pénétration des liquides ; les nouveaux nanomatériaux sur les tissus peuvent également absorber la transpiration et l'évacuer ; et les nanoparticules de titane incorporées dans les textiles peuvent empêcher les rayons UV de pénétrer à travers le tissu, etc1.

De nombreuses recherches ont été menées de manière approfondie pour comprendre le comportement fondamental des micro- et nano-structures telles que les poutres à l'échelle micro/nano2,3, les plaques4,5, les revêtements de surface6,7,8 et les indentations9,10. La plupart des études existantes peuvent être divisées en trois groupes principaux en fonction de la méthodologie et de la procédure sous-jacentes employées : l'une associée à des investigations expérimentales11,12,13 et les deux autres concernant des études discrètes14,15,16,17,18 et continues. modélisations mathématiques. Au cours des dernières décennies, des simulations basées sur des modèles mathématiques basés sur le continuum ont progressivement été proposées comme des alternatives viables. Diverses théories de l'élasticité dépendant de la taille, telles que la théorie des contraintes de couple19,20,21,22,23, la théorie de l'élasticité basée sur le gradient de déformation24,25, la théorie de l'élasticité des contraintes de surface26,27,28 et la théorie de l'élasticité non locale29,30 ,31, ont été proposées pour tenir compte de l'influence des structures matérielles à petite échelle de manière continue. Bien que les résultats et les découvertes des modèles mathématiques ne soient pris en compte qu'à partir de la première estimation de la réponse approximative, ces tendances prévues peuvent être utilisées pour fournir des données préliminaires pour des expériences plus précises.

Les problèmes fondamentaux de la mécanique des solides aux échelles micro/nano sont largement étudiés, en particulier ceux impliquant des charges de surface et des contacts. Plusieurs groupes de chercheurs ont étudié les effets dépendant de la taille en utilisant diverses théories. Les théories basées sur les contraintes de couple, dans lesquelles une mesure de déformation supplémentaire appelée courbure est introduite avec sa paire conjuguée connue sous le nom de contraintes de couple, sont couramment utilisées dans la littérature pour simuler l'influence des microstructures matérielles d'objets à petite échelle. La théorie originale du stress de couple (indéterminé) a été proposée par Mindlin et Tiersten19, Toupin20,21, Mindlin22 et Koiter23 et a retenu l'attention des chercheurs en raison de sa capacité à résoudre des problèmes à micro-échelle. Muki et Sternberg6 ont d'abord appliqué la théorie pour étudier le rôle des contraintes de couple sur la réponse d'un demi-plan élastique sous des charges de surface et des contacts simples. Depuis lors, les études ont été considérablement étendues pour gérer des scénarios plus complexes, y compris les problèmes d'indentation32,33,34,35,36,37 et les médias en couches38,39,40,41,42. L'extension non triviale aux cas tridimensionnels a également été documentée43,44,45,46. Néanmoins, le nombre d'études est encore relativement faible par rapport à celui des problèmes bidimensionnels.

La théorie de l'élasticité surface / interface est l'un des cadres disponibles largement adoptés pour simuler la réponse mécanique d'objets à petite échelle dans lesquels l'énergie libre de surface est observée comme étant significative. La base mathématique solide d'une telle théorie a été établie par Gurtin et ses collaborateurs26,27,28 en suivant l'idée fondamentale de Gibbs47 et sa capacité de modélisation par rapport aux simulations statiques atomiques et moléculaires a été confirmée par plusieurs études48,49,50 . Dans le contexte de la mécanique des surfaces, les applications d'une telle théorie pour étudier les réponses proches de la surface ont également été bien reconnues; par exemple, les problèmes liés au demi-plan, au demi-espace et aux supports en couches sous des charges de surface (par exemple7,8,51,52,53,54) et des contacts de surface55,56,57,58,59,60,61,62. Les résultats des études existantes ont confirmé le rôle significatif de la tension superficielle résiduelle et de l'élasticité de surface sur les réponses prédites et les caractéristiques dépendantes de la taille à mesure que les échelles de longueur externes pertinentes deviennent comparables à l'échelle de longueur intrinsèque de la surface du matériau. À de si petites échelles, la nécessité de remplacer la théorie mécanique conventionnelle indépendante de la taille par des modèles capables de tenir compte des effets de taille est évidente.

Bien que la microstructure des matériaux en vrac et l'énergie libre de surface aient été considérées comme responsables des caractéristiques dépendant de la taille de la réponse des milieux homogènes et en couches à l'échelle micro/nano, travaillez à l'intégration des deux effets dans les simulations, dans le continuum , a été encore relativement peu nombreux. Récemment, Le et al.63 et Le et al.64 ont appliqué les théories de contrainte de couple et d'élasticité de surface pour étudier la réponse dépendante de la taille d'un demi-plan homogène excité par des charges de surface et des indenteurs plats inclinés, respectivement. L'extension pour traiter un demi-espace homogène chargé en surface tenant compte à la fois des contraintes de couple et de surface a été réalisée par Lawongkerd et al.65. Dans les études mentionnées ci-dessus, il a été clairement démontré que les deux effets sont significatifs lorsque les échelles de longueur interne des matériaux en vrac et en surface sont comparables. Les effets simultanés doivent être pris en compte dans la modélisation lorsque les échelles de longueur externes pertinentes se situent dans la plage des deux échelles de longueur du matériau. Alors que le rôle des contraintes de surface et de couple a été largement exploré dans les enquêtes ci-dessus, le milieu a été modélisé soit par un demi-plan homogène, soit par un demi-espace, et ces paramètres simplifiés posent clairement une limitation clé à leurs applications pratiques. Par exemple, la réponse clé et les caractéristiques des objets revêtus d'une couche de revêtement très mince sous des excitations de surface (par exemple, mécanisme de transfert de charge sur le substrat revêtu et influence de l'épaisseur de la couche de revêtement) ne sont pas possibles à partir de paramètres aussi limités. Sur la base d'une étude approfondie de la littérature, les auteurs n'ont connaissance d'aucun développement ultérieur par rapport aux études mentionnées.

Dans la présente étude, une réponse élastique dépendante de la taille d'une couche de matériau chargée en surface reposant sur un substrat est étudiée. L'énergie libre de surface et les microstructures des matériaux en vrac sont prises en compte dans la modélisation en tant que responsables des effets de taille. Le traitement d'un support en couche d'épaisseur finie élargit clairement ses applications pratiques à partir des cas demi-plan et demi-espace disponibles, notamment pour l'étude des problèmes de revêtement de surface. Outre leur contribution directe à une compréhension approfondie de la réponse mécanique d'un milieu en couche très mince, les résultats établis constituent une base essentielle et suffisante pour le développement d'un schéma de solution pour résoudre les problèmes de contact de surface.

Considérons une couche élastique tridimensionnelle d'épaisseur finie h (représentant une couche de revêtement mince) reposant sur un substrat rigide (représentant un substrat revêtu) comme illustré schématiquement à la Fig. 1. La couche se compose d'une partie en vrac, qui est constituée de un matériau homogène, isotrope, linéairement élastique possédant des microstructures, et une partie surfacique, parfaitement adhérente au sommet du massif et possédant ses propres propriétés. La couche est chargée sur la surface supérieure par une traction normale répartie axisymétriquement \(p\), une traction de cisaillement \(q\) et une traction de couple \(m\) sur une région circulaire de rayon \(a\) et sans traction autre part. Dans le schéma de formulation et de solution présenté ci-dessous, un système de coordonnées cylindriques de référence \(\{ O;r,\theta ,z\}\) avec l'origine O située au centre de la région de chargement, l'axe r dirigé le long la direction infinie de la couche, et l'axe z dirigé vers le bas est utilisé.

Schéma d'une couche élastique tridimensionnelle à base rigide et soumise à des charges de surface axisymétriques réparties arbitrairement.

Pour simuler la réponse élastique du matériau en vrac avec des microstructures, une théorie fondamentale des contraintes de couple proposée par Mindlin et Tiersten19 et Koiter23 est adoptée. Les équations de base (c'est-à-dire les équations d'équilibre, les lois de comportement et la cinématique) régissant le champ élastique sous la déformation axisymétrique et la force corporelle nulle et le couple sont données par66,67

où \(\{ \sigma_{rr} ,\sigma_{\theta \theta } ,\sigma_{zz} ,\sigma_{rz} ,\sigma_{zr} \}\) sont des composantes force-contrainte non nulles ; \(\{ m_{r\theta } ,m_{\theta r} ,m_{z\theta } ,m_{\theta z} \}\) sont des composantes de contrainte de couple non nulles ; \(\{ \varepsilon_{rr} ,\varepsilon_{\theta \theta } ,\varepsilon_{zz} ,\varepsilon_{rz} ,\varepsilon_{zr} \}\) sont des composantes non nulles d'un tenseur de déformation infinitésimal , \(\{ u_{r} ,u_{z} \}\) sont des composantes non nulles du vecteur de déplacement ; \(\Omega_{\theta }\) est une composante non nulle du tenseur de rotation, \(\{ \kappa_{r\theta } ,\kappa_{\theta r} ,\kappa_{z\theta } \} \) sont des composantes non nulles du tenseur de courbure ; \(\lambda\) et \(\mu\) sont des constantes de Lamé définies de la même manière que dans l'élasticité linéaire classique ; et \(\eta\) et \(\eta^{\prime}\) désignent les constantes matérielles expliquant la présence de contraintes de couple. Il convient de noter que \(\eta\) et \(\eta^{\prime}\) sont des paramètres matériels supplémentaires responsables de l'effet d'échelle de longueur (c'est-à-dire la présence d'une microstructure matérielle) et, si ces constantes disparaissent, la théorie des contraintes de couple se réduira à l'identique à l'élasticité linéaire classique.

Une surface de matériau adhérant au sommet de la masse est modélisée par la théorie de l'élasticité de surface proposée par Gurtin et Murdoch26, Gurtin et Murdoch27, et Gurtin et al.28. Pour un cas axisymétrique, les déplacements de surface non nuls \(\{ u_{r}^{s} ,u_{z}^{s} \}\), les déformations de surface non nulles \(\{ \varepsilon_{ rr}^{s} ,\varepsilon_{\theta \theta }^{s} \}\), et les contraintes de surface non nulles \(\{ \sigma_{rr}^{s} ,\sigma_{\theta \theta }^{s} ,\sigma_{rz}^{s} \}\) sont régis par

où \(\tau^{s}\) désigne la tension superficielle résiduelle ; \(\lambda^{s} ,\mu^{s}\) sont les constantes de surface de Lame ; et \(t_{r}^{s} ,t_{z}^{s}\) sont la traction radiale et verticale agissant sur la partie de surface par la couche en vrac. Combiner les éq. (4)–(6) donne les équations d'équilibre en termes de déplacements de surface \(u_{r}^{s} ,u_{z}^{s}\) comme

où \(\kappa^{s} = 2\mu^{s} + \lambda^{s}\) et le fait que la tension superficielle résiduelle \(\tau^{s}\) est spatialement indépendante a été utilisé .

La partie surfacique étant parfaitement collée à la couche de masse, les déplacements surfaciques \(\{ u_{r}^{s} ,u_{z}^{s} \}\) et les tractions \(\{ t_{r }^{s} ,t_{z}^{s} \}\) peut être lié aux déplacements et aux composantes de contrainte de la couche en vrac par

En appliquant les conditions de continuité Eqs. (9) et (10) avec les équations de surface. (7) et (8), elle conduit à un ensemble de conditions aux limites non classiques sur la surface supérieure de la couche massive :

Étant donné que la partie surfacique est considérée comme infiniment mince et n'a pas de résistance à la flexion, la traction de couple appliquée \(m(r)\) sur le dessus du système surface-vrac est transmise directement à la couche en vrac, ce qui donne une condition aux limites supplémentaire :

Les conditions aux limites au bas de la couche en vrac peuvent être facilement exprimées comme

Les équations (11) à (16) forment un ensemble complet de conditions aux limites pour la couche de masse tenant compte des effets de surface.

Pour obtenir la solution de forme fermée d'un champ élastique dans la couche en vrac, une méthode de transformée de Hankel avec la représentation du champ de déplacement est adoptée. En particulier, les déplacements verticaux et radiaux de la couche de masse subissant la déformation axisymétrique admettent les représentations suivantes66,67

où \(\alpha = (\lambda + \mu ){/}2(\lambda + 2\mu )\); \(\ell = \sqrt {\eta {/}\mu }\) représente l'échelle de longueur du matériau en vrac ; \(\Delta\) est un opérateur laplacien axisymétrique ; \(\Psi = \Psi (r,z)\) et \(\Phi = \Phi (r,z)\) sont les deux solutions de l'équation suivante :

La solution générale sous forme fermée de l'Eq. (19) peut être facilement établi en appliquant la méthode de transformation de Hankel54,65,68 et les résultats finaux sont donnés par

où \(J_{m}\) désigne la fonction de Bessel du premier type d'ordre m ; \(\xi \in [0,\infty )\) est un paramètre de transformation ; \(\zeta = \sqrt {1 + \ell^{2} \xi^{2} }\); et \(C_{i} \, (i = 1,2,...,6)\) sont des coefficients inconnus. Les solutions générales des déplacements \(\{ u_{r} ,u_{z} \}\), la rotation \(\Omega_{\theta }\), les composantes force-contrainte \(\{ \sigma_{rr} ,\sigma_{\theta \theta } ,\sigma_{zz} ,\sigma_{rz} ,\sigma_{zr} \}\), et les composantes de contrainte de couple \(\{ m_{r\theta } ,m_{ \theta r} ,m_{z\theta } ,m_{\theta z} \}\) peut être obtenu par substitution des équations. (20) et (21) dans les équations. (17), (18), (2) et (3). Les expressions explicites pour le champ élastique complet dans la couche en vrac, en termes de coefficients inconnus \(C_{i} \, (i = 1,2,...,6)\), sont rapportées dans l'annexe supplémentaire pour le par souci de brièveté.

En appliquant les conditions aux limites données par les Eqs. (11)–(16) avec les solutions générales pour \(\{ u_{r} ,u_{z} ,\sigma_{zz} ,\sigma_{zr} ,m_{z\theta } \}\) donné dans l'annexe supplémentaire, il donne le système suivant d'équations algébriques linéaires pour déterminer les coefficients inconnus \(C_{i} \, (i = 1,2,...,6)\) :

où \({\varvec{C}} = \{ \begin{array}{*{20}c} {C_{1} } & {C_{2} } & \cdots & {C_{6} } \\ \end{array} \}^{T}\) et la matrice de coefficients \({\varvec{A}}(\xi )\) et le vecteur \({\varvec{F}}(\xi )\) sont donnés explicitement par

avec \(h_{1} = 1/2 - \ell^{2} \xi^{2}\), \(h_{2} = \alpha h + \ell^{2} \xi\), \ (h_{3} = \alpha h - \ell^{2} \xi\), \(h_{s} = \ell^{2} \tau^{s} \xi^{3} + \alpha \ tau^{s} \xi - \tau^{s} \xi\), et

La solution du système (Eq. 22) pour chaque \(\xi \in [0,\infty )\) peut être obtenue numériquement via des solveurs linéaires standards. Une fois que \(C_{i} \, (i = 1,2,...,6)\) sont résolus, le champ élastique dans la couche de masse peut être obtenu à partir d'équations supplémentaires. (A1)–(A12). Pour évaluer toutes les intégrales impropres impliquées, une règle de quadrature efficace similaire à celle employée par Rungamornrat et al.54 et Lawongkerd et al.65 est adoptée.

Les résultats calculés pour certains cas sont d'abord comparés aux solutions de référence existantes pour vérifier à la fois la formulation et la procédure de solution. L'influence des contraintes de surface et de couple sur le champ élastique dans une couche mince de matériau sous diverses charges de surface est ensuite étudiée. Pour démontrer clairement les effets individuels et simultanés sur les caractéristiques dépendantes de la taille, les résultats de quatre modèles différents (c'est-à-dire le modèle-1 avec des effets de contrainte de surface et de couple, le modèle-2 avec uniquement un effet de surface (c'est-à-dire \(\ell \to 0\)), Modèle-3 avec seulement un effet de contrainte de couple (c'est-à-dire, \(\tau^{s} ,\kappa^{s} \to 0\)), et Modèle-4 sans effets de contrainte de surface et de couple (c'est-à-dire , \(\tau^{s} ,\kappa^{s} ,\ell \to 0\))) sont rapportés et comparés. Pour faciliter les simulations et la présentation des résultats, suivez les coordonnées et les paramètres normalisés \(\overline{r} = r{/}\Lambda\), \(\overline{z} = z{/}\Lambda\), \( \overline{a} = a{/}\Lambda\), \(\overline{h} = h{/}\Lambda\), \(\overline{\tau }^{s} = \tau^{s } {/}2\mu \Lambda\), et \(l_{0} = \ell /\Lambda\) avec \(\Lambda = \kappa^{s} {/}2\mu\) indiquant la longueur l'échelle de la surface du matériau sont introduites.

Dans l'étude numérique, les paramètres matériels rapportés par Miller et Shenoy48 et Shenoy49 sont utilisés. En particulier, les constantes de Lamé du matériau en vrac sont prises comme \(\lambda = 58,17 \times 10^{9} {\text{ N/m}}^{2}\) et \(\mu = 26,13 \times 10 ^{9} {\text{N/m}}^{2}\), tandis que les constantes de surface de Lamé et la tension superficielle résiduelle sont prises comme \(\lambda^{s} = 6,8511{\text{N/m} }\), \(\mu^{s} = - 0,376{\text{N/m}}\), et \(\tau^{s} = 1{\text{N/m}}\), respectivement.

Considérons d'abord un demi-espace élastique soumis à une traction normale uniformément répartie \(p_{0}\) sur une région circulaire de rayon \(a\) comme illustré sur la figure 2a. Pour simuler le milieu du demi-espace dans le cadre actuel, l'épaisseur de la couche est considérée comme suffisamment grande par rapport à \(a\) et le rapport \(h{/}a = 1000\) est pris en compte dans l'analyse . Les résultats pour la composante de contrainte de force \(\sigma_{zz}\) et la composante de contrainte de couple \(m_{\theta r}\) par rapport au rapport \(a{/}\ell\) sont comparés à ceux rapportés par Lawongkerd et al.65 sur la Fig. 3 pour \(z{/}a = 0,25\), \(r/a = 0,5\) et \(l_{0} = 1\). On voit que les résultats calculés sont en excellent accord avec les solutions de référence pour les quatre modèles.

(a) Demi-espace élastique sous traction normale uniformément répartie ; (b) couche élastique reposant sur un substrat rigide sous traction normale uniformément répartie (cas A) et hertzienne (cas B); et (c) couche élastique reposant sur un substrat rigide sous une traction de cisaillement radial distribuée linéairement (cas C) et quadratique (cas D) sur une région circulaire de rayon \(a\).

Variations de (a) contrainte verticale normalisée et (b) contrainte de couple normalisée d'une couche élastique infinie sous traction normale uniformément répartie pour \(z{/}a = 0,25\), \(r/a = 0,5\) et \ (l_{0} = 1\).

Une autre vérification est effectuée pour une couche élastique sous une traction normale uniformément répartie \(p_{0}\) agissant sur une région circulaire de rayon \(a\) illustrée à la Fig. 2b pour le cas de charge A. Résultats pour ce cas particulier problème ont été rapportés par Rungamornrat et al.54 pour le cas classique et le cas avec seulement un effet de contrainte de surface. Pour simuler ces deux cas particuliers, les paramètres \(\tau^{s} ,\kappa^{s} ,\ell\) et \(\ell\) sont pris suffisamment petits pour chaque scénario. Les déplacements de surface calculés (c'est-à-dire, \(\overline{z} = 0\)) sont rapportés à la Fig. 4 pour \(\overline{a} = 10\) et \(\overline{h} = 10\) et les composantes de contrainte à la profondeur normalisée \(\overline{z} = 0,25\) sont illustrées à la Fig. 5 pour \(\overline{a} = 1\) et \(\overline{h} = 10\). Le bon accord entre les deux ensembles de résultats confirme en outre la validité du schéma proposé et des solutions dérivées.

Profils de déplacement normalisés d'une couche élastique infinie sous traction normale uniformément répartie : (a) déplacement radial et (b) déplacement vertical.

Profils de contrainte normalisés d'une couche élastique infinie sous traction normale uniformément répartie : (a) contrainte verticale, (b) contrainte radiale, (c) contrainte de cisaillement et (d) contrainte circonférentielle.

Dans cette section, les résultats d'une étude paramétrique sont rapportés pour démontrer le rôle des contraintes de surface et de couple sur la réponse prévue et le comportement dépendant de la taille d'un substrat recouvert d'une fine couche de revêtement sous des charges de surface. En particulier, les caractéristiques de transfert de charge de la surface du revêtement au substrat et l'influence de l'épaisseur de la couche de revêtement sont d'un intérêt primordial. Pour explorer également l'influence des charges appliquées et de leur distribution, un système de revêtement soumis à quatre charges de surface représentatives agissant sur une région circulaire de rayon \(a\) illustrée à la Fig. 2b,c (c'est-à-dire le cas A pour une normale uniformément distribuée traction \(p(r) = p_{0}\), Cas B pour la traction normale hertzienne \(p(r) = p_{0} \sqrt {1 - (r{/}a)^{2} } \), Cas C pour une traction de cisaillement radial répartie linéairement \(q(r) = q_{0} r/a\), et Cas D pour une traction de cisaillement radial répartie quadratiquement \(q(r) = q_{0} (r{/}a)^{2}\)) sont pris en compte. Dans les simulations, les paramètres de matériau suivants \(E = 76{\text{ GPa}}\), \(\nu = 0,3\), \(\kappa^{s} = 1,22{\text{ N/m}} \), et \(\tau^{s} = 0,89{\text{N/m}}\)48,49 sont utilisés sauf indication contraire. Notez en outre que seul le cas d'effets de contrainte de surface et de couple comparables est étudié et, pour simuler un tel scénario, les deux échelles de longueur de matériau \(\ell ,\Lambda\) sont prises comme \(l_{0} = 1\) . La discussion complète sur les deux effets de taille pour une large gamme du rapport \(\ell {/}\Lambda\) peut être trouvée dans les travaux de Le et al.63 et Lawongkerd et al.65.

Pour démontrer l'intensité de la charge transférée au substrat revêtu, la contrainte verticale \(\sigma_{zz}\) pour le cas de charge A et le cas de charge B et la contrainte de cisaillement \(\sigma_{zr}\) pour le cas de charge C et le cas de charge D sont rapportés à la Fig. 6 pour \(z{/}a = 1\), \(h{/}a = 1\) et \(a{/}\ell \in \{ 0,01 ,1 100\}\). Trois valeurs du rapport \(a{/}\ell\) sont considérées comme représentant des cas où la taille d'une région de chargement (représentant l'échelle de longueur externe) est bien inférieure, comparable et bien supérieure aux deux longueurs de matériau Balance. Notez que les contraintes verticales et de cisaillement sont normalisées par l'intensité maximale des charges de surface appliquées pour observer clairement le rôle de la couche de revêtement dans la réduction des contraintes de transfert au substrat. Pour les deux premiers cas de charge (c'est-à-dire le cas de charge A et le cas de charge B), la contrainte verticale normalisée atteint l'amplitude maximale au centre de la région de chargement et décroît de manière monotone jusqu'à zéro lorsque \(r{/}a\) augmente pour tous les modèles et valeurs de \(a{/}\ell\) (voir Fig. 6a–c). Au fur et à mesure que la taille de la région de chargement devient comparable aux échelles de longueur des matériaux en vrac et en surface, le transfert des contraintes verticales au substrat est clairement différent pour les quatre modèles (voir Fig. 6b). Une telle découverte confirme le rôle important des contraintes de surface et de couple lorsque \(a\) se situe dans la plage de \(\ell ,\Lambda\). De toute évidence, les Model-2 et Model-3 ne peuvent pas être utilisés en remplacement du Model-1. De plus, la présence d'effets de contraintes de surface et de couple réduit nettement la contrainte maximale transférant au substrat par rapport au cas classique ; en particulier, le modèle 1 donne la plus petite valeur de la contrainte de transfert maximale. Lorsque \(a\) est bien inférieur à \(\ell ,\Lambda\) (voir Fig. 6a), le Modèle-2 et le Modèle-3 prédisent toujours les réponses différemment du cas classique, mais l'effet des contraintes de surface est plus prononcée que celle du couple stresse. Les contraintes verticales transférées obtenues à partir du modèle 1 et du modèle 2 sont comparables mais très différentes de celles des modèles 3 et 4. Ces résultats suggèrent que le Modèle-2 peut être utilisé à la place du Modèle-1 pour simplifier les calculs lorsque \(a \ll \ell \sim \Lambda\). Lorsque \(a\) est beaucoup plus grand que \(\ell ,\Lambda\) (voir Fig. 6c), les contraintes de surface et de couple jouent un rôle insignifiant dans la réponse prédite ; en particulier, les résultats des modèles 1, 2 et 3 sont presque identiques aux solutions classiques. Pour cette gamme d'échelles de longueur externes et matérielles, le modèle 4 est considéré comme suffisant pour simuler la réponse d'intérêt. Il convient de noter que la modification de la distribution des tractions normales appliquées ne modifie pas les caractéristiques de réponse, à l'exception de la différence d'amplitude résultant de la différence de traction résultante. Pour le cas de charge C et le cas de charge D, l'amplitude de la contrainte de cisaillement normalisée \(\sigma_{zr} {/}q_{0}\) transférée au substrat augmente de zéro au centre de la région de chargement à son maximum à \(r{/}a \in [0,5,1]\) puis décroît asymptotiquement vers zéro à mesure que \(r\) augmente (voir Fig. 6d–f). Il convient de souligner que pour ces conditions de chargement, le rôle des contraintes de surface sur la contrainte maximale de cisaillement transférée est opposé à celui des contraintes de couple. Plus précisément, les contraintes de surface (le modèle 2) ont tendance à abaisser la contrainte de cisaillement de transfert maximale par rapport au cas classique, tandis que les contraintes de couple augmentent clairement ce maximum et modifient également la direction de la contrainte de cisaillement. En comparant les résultats pour trois valeurs différentes de \(a{/}\ell\) et deux distributions différentes des charges de cisaillement appliquées, une conclusion similaire au cas de charge A et au cas de charge B peut être tirée. En particulier, comme la taille de la région de chargement se réduit pour être comparable (ou bien inférieure) aux deux échelles de longueur \(\ell ,\Lambda\), le Modèle-1 (ou le Modèle-1 et le Modèle-2) doit être utilisé pour capter les effets de taille. Notez également que la présence de contraintes de surface et de couple peut soit réduire (as \(a \ll \ell \sim \Lambda\)) soit augmenter (as \(a \sim \ell \sim \Lambda\)) le maximum transfert de la contrainte de cisaillement au substrat à partir du cas classique.

Profils des contraintes verticales et de cisaillement normalisées dans la direction radiale au bas de la couche de revêtement pour \(h{/}a = 1\) et \(l_{0} = 1\) : (a,d) \(a{ /}\ell = 0.01\), (b,e) \(a{/}\ell = 1\) et (c,f) \(a{/}\ell = 100\).

Profils dans l'épaisseur de la contrainte verticale \(\sigma_{zz}\) à \(r{/}a = 0\) pour le cas de charge A et le cas de charge B et la contrainte de cisaillement \(\sigma_{zr }\) à \(r{/}a = 0,7\) pour le cas de charge C et le cas de charge D sont également rapportés à la Fig. 7 pour \(h/a = 1\) et \(a{/}\ell \in \{ 0.01,1,100\}\). Les valeurs spécifiques de \(r{/}a\) utilisées pour collecter ces résultats sont associées à l'endroit où la contrainte de transfert au substrat atteint (pour le cas de charge A et le cas de charge B) ou atteint approximativement (pour le cas de charge C et cas de charge D) son maximum. Il est évident d'après les Fig. 7a–c que la contrainte verticale prédite par les Modèles-1, Modèle-2 et Modèle-3 diminue plus rapidement que celles du cas classique lorsque la profondeur \(z\) augmente. Néanmoins, pour le cas de charge C et le cas de charge D (voir Fig. 7d – f), le modèle-2 a tendance à augmenter la décroissance de la contrainte de cisaillement sur l'épaisseur de la couche de revêtement par rapport au cas classique, mais le modèle-3 semble pour réduire une telle dégradation. Le modèle 1 tenant compte des deux effets peut soit réduire (voir Fig. 7e) soit augmenter (voir Fig. 7d) la décroissance en fonction du rapport \(a{/}\ell\). Pour tous les cas de charge considérés, les profils à travers l'épaisseur des contraintes de cisaillement verticales et radiales dépendent fortement des effets de contrainte de surface et de couple lorsque \(a\) est comparable à (voir Fig. 7b, e) ou beaucoup moins que (voir Fig. 7a,d) \(\ell ,\Lambda\) et pour ce dernier cas, l'effet de surface s'avère plus prononcé. Notez en outre que la modification de la distribution des charges de surface appliquées ne modifie pas la tendance de la réponse prédite.

Profils à travers l'épaisseur de la contrainte verticale normalisée à \(r{/}a = 0\) et de la contrainte de cisaillement à \(r{/}a = 0,7\) pour \(h{/}a = 1\) et \(l_{0} = 1\) : (a,d) \(a{/}\ell = 0,01\), (b,e) \(a{/}\ell = 1\) et (c ,f) \(a{/}\ell = 100\).

Pour illustrer davantage l'influence de l'épaisseur de la couche de revêtement sur la réduction de la contrainte de transfert sur le substrat lorsque des effets de contrainte de surface et de couple sont présents, les contraintes de transfert verticales et de cisaillement pour le cas des contraintes de cisaillement normales et radiales appliquées, obtenues à partir de le Modèle-1, sont rapportés en fonction de l'épaisseur normalisée \(h{/}a\) sur la Fig. 8 pour \(a{/}\ell \in \{ 0.01,1,100\}\). Étant donné que le rôle des effets de contrainte de surface et de couple pour différentes distributions de charge de surface est similaire, le cas de charge A et le cas de charge C sont choisis comme cas de charge représentatifs pour les tractions de cisaillement normales et radiales appliquées, respectivement. Pour le cas de charge A, la contrainte verticale de transfert \(\sigma_{zz}\) est rapportée à \(r{/}a = 0\) où elle atteint le maximum (voir Fig. 6a–c). Pour ce cas de charge, l'augmentation de l'épaisseur de la couche de revêtement peut réduire considérablement la contrainte verticale de transfert maximale au substrat pour le modèle classique et le modèle-1. Cependant, la présence de contraintes de couple et de surface rend cette réduction plus prononcée lorsque la taille de la région de chargement tombe dans la plage ou est beaucoup plus petite que les échelles de longueur du matériau \(\ell ,\Lambda\) (voir Fig. 8a). Pour ce dernier cas (comme \(a \ll \ell \sim \Lambda\)), l'effet de surface est la clé responsable de cette réduction substantielle par rapport au cas classique. Pour le cas de charge C, il est choisi, par commodité, de rapporter la contrainte de cisaillement radiale transférée \(\sigma_{zr}\) à \(r{/}a = 0,7\) puisque l'emplacement exact du maximum \( r{/}a\) varie de 0,5 à 1 (voir Fig. 6d–f). Il ressort de cet ensemble de résultats que, bien que la contrainte de cisaillement transférée au substrat diminue de manière monotone et asymptotique jusqu'à zéro à mesure que l'épaisseur de la couche de revêtement augmente lorsque les contraintes de surface et de couple sont prises en compte, la présence de tels effets peut soit améliorer (comme \(a \sim \ell \sim \Lambda\)) ou réduire (\(a \ll \ell \sim \Lambda\)) la contrainte de cisaillement de transfert du cas classique. De plus, le changement de direction de la contrainte de cisaillement transférée de celle de la traction de cisaillement appliquée pour un \(h{/}a\ suffisamment grand), comme observé pour le cas classique, disparaît lorsque les effets de contrainte de surface et de couple sont important.

Contrainte verticale de transfert maximale normalisée (a) pour le cas de charge A et (b) transfert des contraintes de cisaillement à \(r{/}a = 0,7\) pour le cas de charge C par rapport à l'épaisseur normalisée de la couche de revêtement. Les résultats sont rapportés pour \(l_{0} = 1\) et \(a{/}\ell \in \{ 0.01,1,100\}\).

Enfin, les caractéristiques dépendantes de la taille des contraintes de transfert prédites au substrat sont également étudiées. Pour illustrer clairement un tel comportement, la contrainte verticale de transfert maximale pour le cas de charge A et la contrainte de cisaillement de transfert à \(r{/}a = 0,7\) pour le cas de charge C sont rapportées en fonction de \(a{/} \ell\) dans la Fig. 9 pour \(h{/}a \in \{ 0.5,1,2\}\). On voit que pour tout rapport d'aspect donné \(h{/}a\), les contraintes de transfert normalisées au substrat obtenues à partir du modèle 1 dépendent fortement de la taille ou, de manière équivalente, dépendent du rapport d'échelle de longueur \(a{ /}\aune\). Lorsque \(a\) diminue pour être comparable ou inférieur à \(\ell\), la contrainte verticale de transfert maximale pour le cas de charge A chute assez rapidement et de manière monotone par rapport à la valeur prédite par le modèle classique. Le comportement différent est observé pour le cas de charge C. La variation de la contrainte de cisaillement transférée sur une large plage du rapport \(a{/}\ell\) n'est pas monotone ; en particulier, pour \(a\) comparable ou supérieur à \(\ell ,\Lambda\), la contrainte de cisaillement transférée prédite à partir du Modèle-1 est supérieure à la solution classique tandis que la tendance inverse peut être conclue lorsque \( a\) est bien inférieur à \(\ell ,\Lambda\). Pour les deux cas de chargement, la dépendance à la taille devient insignifiante car la taille de la région de chargement \(a\) est beaucoup plus grande que les échelles de longueur du matériau \(\ell ,\Lambda\), et le Modèle-4 est donc suffisant pour les simulations.

Contrainte verticale de transfert maximale normalisée (a) pour le cas de charge A et (b) transfert des contraintes de cisaillement à \(r{/}a = 0,7\) pour le cas de charge C par rapport au rapport \(a{/}\ell\). Les résultats sont rapportés pour \(l_{0} = 1\) et \(h{/}a \in \{ 0.5,1,2\}\).

La solution analytique d'un champ élastique d'une couche mince de matériau recouvrant un substrat rigide et excitée par des charges de surface réparties axisymétriquement a été dérivée. Ces résultats établis sont considérés comme nouveaux dans la mesure où l'énergie libre de surface et les microstructures des matériaux, reconnues responsables des effets de taille dans les objets à petite échelle, sont prises en compte simultanément pour modéliser un milieu d'épaisseur finie. Cela permet à l'application directe de simuler la réponse mécanique de composants revêtus d'une très fine couche de matériau. Un modèle basé sur le continuum intégrant la théorie de l'élasticité des contraintes de couple pour s'attaquer à l'effet microstructural inhérent et la théorie de l'élasticité de surface de Gurtin-Murdoch pour capturer l'effet de surface a été formulé et résolu par un schéma analytique basé sur la transformée de Hankel et la représentation du déplacement. Les résultats obtenus sont explicites sous une forme intégrale, très précis en tant que solutions de référence utiles et constituent une base essentielle pour le développement de schémas de solutions pour résoudre les problèmes de contact de surface.

Les résultats d'une étude numérique approfondie ont révélé que les contraintes de surface et de couple affectent de manière significative à la fois les caractéristiques et la valeur maximale de la charge transférée au substrat revêtu par rapport au cas classique où la taille de la région de chargement est comparable ou beaucoup plus petite que la échelles de longueur de matériau. Pour un système revêtu soumis à des tractions normales, la présence de contraintes de surface et de couple peut considérablement augmenter la réduction de la contrainte verticale transférée au substrat, en particulier lorsque la taille de la région de chargement est bien inférieure à l'échelle de longueur des matériaux en vrac et en surface. Une tendance différente a été observée dans le cas des charges de cisaillement appliquées. La contrainte de cisaillement transférée au substrat prédite par le modèle intégrant à la fois les effets de contrainte de surface et de couple peut être inférieure ou supérieure à la solution classique en fonction du rapport entre la taille de la région de chargement et les échelles de longueur du matériau. Cela résulte directement du fait que l'effet de surface diminue la contrainte de cisaillement transférée mais que l'effet de contrainte de couple provoque la tendance inverse. De plus, comme la taille de la région de chargement devient beaucoup plus petite que les deux échelles de longueur du matériau, l'effet de surface est beaucoup plus prononcé que l'effet de contrainte de couple.

Les ensembles de données générés et/ou analysés au cours de l'étude actuelle ne sont pas accessibles au public car les données font également partie d'une étude en cours, mais sont disponibles auprès de l'auteur correspondant sur demande raisonnable.

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Ce projet de recherche est financé par le National Research Council of Thailand (Grant No. NRCT5-RSA63001-17) et le Thailand Research Fund (Grant No. RTA6280012).

Département de génie civil, Faculté d'ingénierie, Thammasat School of Engineering, Thammasat University, Pathumthani, 12120, Thaïlande

Jintara Lawongkerd & Suraparb Keawsawasvong

Centre d'excellence en mécanique appliquée et structures, Département de génie civil, Faculté d'ingénierie, Université Chulalongkorn, Bangkok, 10330, Thaïlande

Toan Minh Le, Wipavee Wongviboonsin et Jaroon Rungamornrat

Département de génie civil et environnemental, Faculté de génie, Université Prince of Songkla, Songkhla, 90112, Thaïlande

Suchart Limkatanyu

Faculté de génie civil, Ho Chi Minh City University of Technology and Education, Ho Chi Minh City, 721400, Vietnam

Chung Nguyen Van

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Correspondance à Jaroon Rungamornrat.

Les auteurs ne déclarent aucun intérêt concurrent.

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Réimpressions et autorisations

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Reçu : 24 août 2022

Accepté : 06 janvier 2023

Publié: 19 janvier 2023

DOI : https://doi.org/10.1038/s41598-023-27705-1

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